Aljabar Linear Elementer
Pendahuluan
Aljabar Linear Elementer adalah cabang dari matematika yang mempelajari tentang sistem persamaan linear, vektor, dan transformasi linear. Aljabar linear elementer memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti ilmu komputer, statistika, fisika, dan ekonomi. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep-konsep dasar dalam aljabar linear elementer.
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang harus diselesaikan secara bersamaan. Persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel-variabel dengan pangkat 1 dan tidak ada pangkat lainnya. Misalnya, persamaan 2x + 3y = 5 adalah persamaan linear, sedangkan persamaan x^2 + y = 3 bukan persamaan linear.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, kita menggunakan metode-metode seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, atau metode matriks. Metode-metode ini memungkinkan kita untuk menemukan solusi-solusi dari sistem persamaan linear tersebut.
Vektor
Vektor adalah objek matematika yang memiliki magnitude (besaran) dan arah. Vektor dapat digunakan untuk merepresentasikan berbagai macam hal, seperti kecepatan, percepatan, gaya, dan posisi. Dalam aljabar linear elementer, vektor sering digunakan untuk merepresentasikan objek-objek dalam ruang berdimensi-n.
Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu sebuah tabel dengan baris dan kolom. Setiap elemen dalam matriks merepresentasikan komponen dari vektor tersebut. Misalnya, vektor v = [1, 2, 3] dapat ditulis dalam bentuk matriks:
1
2
3
Transformasi Linear
Transformasi linear adalah fungsi matematika yang mengambil vektor sebagai input dan menghasilkan vektor lain sebagai output. Transformasi linear sering digunakan untuk memodelkan perubahan-perubahan dalam sistem yang linier. Misalnya, rotasi, refleksi, dan dilatasi adalah contoh-contoh transformasi linear.
Transformasi linear dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks, yaitu matriks yang mengubah vektor input menjadi vektor output. Misalnya, matriks transformasi linear A dapat ditulis sebagai:
A = [a, b, c
d, e, f
g, h, i]
Matriks dan Operasi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom. Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen matriks. Operasi-operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dapat dilakukan untuk memanipulasi matriks.
Penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang sejajar. Misalnya, untuk matriks A = [1, 2, 3
4, 5, 6] dan matriks B = [7, 8, 9
10, 11, 12], penjumlahan matriks A dan B adalah:
A + B = [1+7, 2+8, 3+9
4+10, 5+11, 6+12]
Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan elemen-elemen matriks secara berpasangan dan menjumlahkan hasilnya. Misalnya, untuk matriks A = [1, 2
3, 4] dan matriks B = [5, 6
7, 8], perkalian matriks A dan B adalah:
A * B = [1*5+2*7, 1*6+2*8
3*5+4*7, 3*6+4*8]
Ruang Vektor
Ruang vektor adalah himpunan vektor-vektor yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Ruang vektor memiliki operasi-operasi seperti penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Selain itu, ruang vektor juga memiliki sifat-sifat tertentu, seperti sifat penutupan dan sifat asosiatif.
Ruang vektor dapat memiliki dimensi yang berbeda-beda, bergantung pada jumlah koordinat yang diperlukan untuk merepresentasikan vektor-vektor dalam ruang tersebut. Misalnya, ruang vektor tiga dimensi membutuhkan tiga koordinat (x, y, z) untuk merepresentasikan vektor-vektor dalam ruang tersebut.
Subruang dan Ruang Kolom
Subruang adalah himpunan dari vektor-vektor dalam suatu ruang vektor yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Subruang dapat dibentuk dengan mengambil kombinasi linear dari vektor-vektor dalam ruang tersebut. Misalnya, subruang dari ruang vektor tiga dimensi dapat terbentuk dengan mengambil kombinasi linear dari vektor-vektor (1, 0, 0), (0, 1, 0), dan (0, 0, 1).
Ruang kolom adalah subruang dari ruang vektor yang terbentuk oleh kombinasi linear dari kolom-kolom matriks. Misalnya, untuk matriks A = [a, b, c
d, e, f
g, h, i], ruang kolom dari matriks A adalah subruang yang terbentuk oleh kombinasi linear dari kolom-kolom [a, d, g], [b, e, h], dan [c, f, i].
Transformasi Matriks dan Matriks Identitas
Transformasi matriks adalah pengubahan matriks menggunakan operasi-operasi matriks. Transformasi matriks dapat dilakukan dengan mengalikan matriks dengan matriks transformasi. Misalnya, untuk matriks A = [a, b
c, d] dan matriks transformasi T = [e, f
g, h], transformasi matriks A dengan T adalah:
AT = [a, b
c, d] * [e, f
g, h] = [ae+bg, af+bh
ce+dg, cf+dh]
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan elemen-elemen diagonalnya bernilai 1 dan elemen-elemen lainnya bernilai 0. Matriks identitas sering digunakan dalam operasi-operasi matriks, seperti invers matriks dan pemangkatan matriks. Misalnya, matriks identitas dua dimensi adalah:
I = [1, 0
0, 1]
Determinan dan Invers Matriks
Determinan adalah ukuran yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah matriks memiliki invers atau tidak. Determinan dinyatakan dengan simbol |A| untuk matriks A. Jika determinan suatu matriks tidak sama dengan 0, maka matriks tersebut memiliki invers. Jika determinan suatu matriks sama dengan 0, maka matriks tersebut tidak memiliki invers.
Invers matriks adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks asalnya akan menghasilkan matriks identitas. Misalnya, untuk matriks A, invers matriks A dinyatakan sebagai A^(-1). Jika A memiliki invers, maka A * A^(-1) = A^(-1) * A = I, dengan I adalah matriks identitas.
Eigenvektor dan Eigennilai
Eigenvektor adalah vektor yang tidak berubah dalam arahnya ketika diubah oleh transformasi linear. Eigenvektor memiliki sifat bahwa transformasi linear dari eigenvektor tersebut hanya menghasilkan skalar yang dikalikan dengan eigenvektor itu sendiri. Eigennilai adalah skalar yang dikalikan dengan eigenvektor untuk menghasilkan transformasi linear dari eigenvektor tersebut.
Untuk
Baca Juga: Dasar-Dasar Matematika